Question

Sea $\mathcal{R}$ la región del plano complejo formada por todos los números complejos $z$ que se pueden escribir como la suma de números complejos $z_1$ y $z_2,$ donde $z_1$ está en el segmento de extremos $3$ y $4i,$ y $z_2$ tiene módulo a lo sumo $1.$ ¿Qué entero es el más cercano al área de $\mathcal{R}$ ?

Let $\mathcal{R}$ be the region in the complex plane consisting of all complex numbers $z$ that can be written as the sum of complex numbers $z_1$ and $z_2,$ where $z_1$ lies on the segment with endpoints $3$ and $4i,$ and $z_2$ has magnitude at most $1.$ What integer is closest to the area of $\mathcal{R}?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

Agregar un disco de radio $1$ a cada punto del segmento barre todos los puntos a distancia a lo sumo $1$ de él. El segmento de $3$ a $4i$ tiene longitud $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Este "estadio" es un rectángulo $5\times2$ más dos semicírculos de radio $1,$ con área $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

El entero más cercano es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a disk of radius $1$ to every point of the segment sweeps out all points within distance $1$ of it. The segment from $3$ to $4i$ has length $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

This "stadium" is a $5\times2$ rectangle plus two half-disks of radius $1,$ with area $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

The closest integer is $13.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años