Question

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ en el tetraedro regular $ABCD.$ ¿Cuánto vale $\cos(\angle CMD)$ ?

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD.$ What is $\cos(\angle CMD)?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:Geometría 3D mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

$CM$ y $DM$ son medianas de caras equiláteras con longitud de arista $1$

$CM$ and $DM$ are medians of equilateral faces with edge length $1$

Pista grande:

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ y $CD=1;$ aplica la Ley de Cosenos en $\triangle CMD$

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ and $CD=1;$ apply the Law of Cosines in $\triangle CMD$

Solución:

Toma longitud de arista $1.$ Como $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ los segmentos $CM$ y $DM$ son alturas de las caras equiláteras, cada una de longitud $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Además $CD=1.$

Por la Ley de Cosenos en $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take edge length $1.$ Since $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ segments $CM$ and $DM$ are altitudes of the equilateral faces, each of length $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Also $CD=1.$

By the Law of Cosines in $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años