Question

Los ángulos de cierto triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de los lados son $4,$ $5,$ y $x.$ La suma de los posibles valores de $x$ es igual a $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are $4,$ $5,$ and $x.$ The sum of the possible values of $x$ equals $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. What is $a + b + c?$

$36$

$38$

$40$

$42$

$44$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética ley de los cosenos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Los ángulos en progresión aritmética que suman $180^\circ$ obligan a que el ángulo del medio sea $60^\circ$ .

Angles in arithmetic progression summing to $180^\circ$ force the middle angle to be $60^\circ$

Pista grande:

Aplica la Ley de Cosenos en cada caso según qué lado se opone al ángulo de $60^\circ$

Apply the Law of Cosines in each case for which side is opposite the $60^\circ$ angle

Solución:

Si los ángulos son $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta$ , su suma $3\alpha = 180^\circ$ da $\alpha = 60^\circ$ , así que uno de los ángulos es $60^\circ$ .

Si $x$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , la Ley de Cosenos da $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ así que $x = \sqrt{21}$ .

Si $5$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , entonces $25 = x^2 - 4x + 16$ , cuya solución positiva es $x = 2 + \sqrt{13}$ . Si $4$ se opone a dicho ángulo, entonces $16 = x^2 - 5x + 25$ no tiene solución real.

La suma de los posibles valores es $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}$ , así que $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the angles are $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,$ their sum $3\alpha = 180^\circ$ gives $\alpha = 60^\circ,$ so one angle is $60^\circ.$

If $x$ is opposite the $60^\circ$ angle, the Law of Cosines gives $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ so $x = \sqrt{21}.$

If $5$ is opposite the $60^\circ$ angle, then $25 = x^2 - 4x + 16,$ whose positive solution is $x = 2 + \sqrt{13}.$ If $4$ is opposite, then $16 = x^2 - 5x + 25$ has no real solution.

The sum of the possible values is $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},$ so $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.$

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A Problema 12

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años