Question

Un tablero de dardos es un octógono regular dividido en regiones como se muestra. Supón que un dardo lanzado al tablero tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga dentro del cuadrado central?

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$2-\sqrt{2}$

Solución:

Supón que el octógono tiene arista de longitud $1.$ Los cuatro triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos $\dfrac{\sqrt2}{2}$ y área $\dfrac14$ cada uno. Los cuatro rectángulos son $1$ por $\dfrac{\sqrt2}{2}$ con área $\dfrac{\sqrt2}{2}$ cada uno, y el cuadrado central tiene área $1.$

El área total es $4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.$ La probabilidad de acertar en el cuadrado central es $\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Assume the octagon has edge length $1.$ The four corner triangles are right isosceles with legs $\dfrac{\sqrt2}{2}$ and area $\dfrac14$ each. The four rectangles are $1$ by $\dfrac{\sqrt2}{2}$ with area $\dfrac{\sqrt2}{2}$ each, and the center square has area $1.$

The total area is $4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.$ The probability of hitting the center square is $\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años