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2011 AMC 12B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2011 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Un tablero de dardos es un octógono regular dividido en regiones como se muestra. Supón que un dardo lanzado al tablero tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga dentro del cuadrado central?

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

2−12\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}

14\dfrac{1}{4}

2−22\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}

24\dfrac{\sqrt{2}}{4}

2−22-\sqrt{2}

Respuesta: A
Conceptos:probabilidad geométricadescomposición de áreaspolígono regular
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:

Fija la arista del octógono en 11 y divídelo en el cuadrado central, cuatro rectángulos y cuatro triángulos en las esquinas.

Set the octagon’s edge to 11 and split it into the center square, four rectangles, and four corner triangles

Pista grande:

Los triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos 22\dfrac{\sqrt2}{2}.

The corner triangles are right isosceles with legs 22\dfrac{\sqrt2}{2}

Solución:

Supón que el octógono tiene arista de longitud 1.1. Los cuatro triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos 22\dfrac{\sqrt2}{2} y área 14\dfrac14 cada uno. Los cuatro rectángulos son 11 por 22\dfrac{\sqrt2}{2} con área 22\dfrac{\sqrt2}{2} cada uno, y el cuadrado central tiene área 1.1.

El área total es 4⋅14+4⋅22+1=2+22. 4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2. La probabilidad de acertar en el cuadrado central es 12+22=2−12. \dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Assume the octagon has edge length 1.1. The four corner triangles are right isosceles with legs 22\dfrac{\sqrt2}{2} and area 14\dfrac14 each. The four rectangles are 11 by 22\dfrac{\sqrt2}{2} with area 22\dfrac{\sqrt2}{2} each, and the center square has area 1.1.

The total area is 4⋅14+4⋅22+1=2+22. 4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2. The probability of hitting the center square is 12+22=2−12. \dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.

Thus, the correct answer is A.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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