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2014 AMC 12A Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Dos círculos se intersecan en los puntos AA y B.B. Los arcos menores ABAB miden 30∘30^\circ en un círculo y 60∘60^\circ en el otro círculo. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo mayor y el área del círculo menor?

Two circles intersect at points AA and B.B. The minor arcs ABAB measure 30∘30^\circ on one circle and 60∘60^\circ on the other circle. What is the ratio of the area of the larger circle to the area of the smaller circle?

22

1+31+\sqrt3

33

2+32+\sqrt3

44

Respuesta: D
Conceptos:cuerdatrigonometríarazón de áreas
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:

La cuerda común ABAB es igual a 2Rsin⁡15∘2R\sin15^\circ en un círculo y a 2rsin⁡30∘2r\sin30^\circ en el otro.

The common chord ABAB equals 2Rsin⁡15∘2R\sin15^\circ in one circle and 2rsin⁡30∘2r\sin30^\circ in the other

Pista grande:

La razón de áreas es (Rr)2=14sin⁡215∘\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}, y 4sin⁡215∘=2−34\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3.

The area ratio is (Rr)2=14sin⁡215∘\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}, and 4sin⁡215∘=2−34\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3

Solución:

Sean los círculos de radios RR (con el arco de 30∘30^\circ) y rr (con el arco de 60∘60^\circ). La cuerda común tiene longitud 2Rsin⁡15∘=2rsin⁡30∘,2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ, así que Rr=sin⁡30∘sin⁡15∘.\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.

El ángulo central menor corresponde al radio mayor, así que R>r.R\gt r. La razón de áreas es (Rr)2=14sin⁡215∘=12(1−cos⁡30∘)=12−3=2+3. \begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the circles have radii RR (with the 30∘30^\circ arc) and rr (with the 60∘60^\circ arc). The common chord has length 2Rsin⁡15∘=2rsin⁡30∘,2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ, so Rr=sin⁡30∘sin⁡15∘.\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.

The smaller central angle gives the larger radius, so R>r.R\gt r. The area ratio is (Rr)2=14sin⁡215∘=12(1−cos⁡30∘)=12−3=2+3. \begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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