Question

¿Cuál es la suma de las raíces de $z^{12} = 64$ que tienen parte real positiva?

What is the sum of the roots of $z^{12} = 64$ that have a positive real part?

$2$

$4$

$2 + 2\sqrt{3}$

$2\sqrt{2} + \sqrt{6}$

$(1 + \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i$

Solución:

Las raíces de $z^{12} = 64$ están sobre la circunferencia de radio $64^{1/12} = \sqrt{2},$ en ángulos que son múltiplos de $30^\circ.$ Las que tienen parte real positiva están en los ángulos $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ.$ Sus partes imaginarias se cancelan, por lo que la suma es $\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The roots of $z^{12} = 64$ lie on the circle of radius $64^{1/12} = \sqrt{2},$ at angles that are multiples of $30^\circ.$ Those with positive real part are at angles $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ.$ Their imaginary parts cancel, so the sum is $\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años