Question

Los números reales positivos $x \ne 1$ y $y \ne 1$ satisfacen $\log_2 x = \log_y 16$ y $xy = 64.$ ¿Cuánto vale $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2$ ?

Positive real numbers $x \ne 1$ and $y \ne 1$ satisfy $\log_2 x = \log_y 16$ and $xy = 64.$ What is $\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?$

$\dfrac{25}{2}$

$20$

$\dfrac{45}{2}$

$25$

$32$

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y.$ Entonces $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ así que $a = \dfrac{4}{b},$ lo que da $ab = 4.$

Como $xy = 64,$ tenemos $a + b = 6.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Then $\log_y 16 = \dfrac{4}{b},$ so $a = \dfrac{4}{b},$ giving $ab = 4.$

Since $xy = 64,$ we have $a + b = 6.$

Therefore $\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.