Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2023 AMC 12B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Para los números complejos u=a+biu=a+bi y v=c+di,v=c+di, define la operación binaria ⊗\otimes mediante
u⊗v=ac+bdi. u\otimes v=ac+bdi.
Supón que zz es un número complejo tal que z⊗z=z2+40.z\otimes z=z^2+40. ¿Cuánto vale ∣z∣|z|?
For complex numbers u=a+biu=a+bi and v=c+di,v=c+di, define the binary operation ⊗\otimes by
u⊗v=ac+bdi. u\otimes v=ac+bdi.
Suppose zz is a complex number such that z⊗z=z2+40.z\otimes z=z^2+40. What is ∣z∣?|z|?
22
55
5\sqrt{5}
10\sqrt{10}
525\sqrt{2}
Respuesta: E
Conceptos:operación personalizadanúmero complejosistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Escribe z=a+bi;z=a+bi; entonces z⊗z=a2+b2iz\otimes z=a^2+b^2 i mientras que z2=a2−b2+2abiz^2=a^2-b^2+2abi
Write z=a+bi;z=a+bi; then z⊗z=a2+b2iz\otimes z=a^2+b^2 i while z2=a2−b2+2abiz^2=a^2-b^2+2abi
Pista grande:
Iguala las partes real e imaginaria de z⊗z=z2+40,z\otimes z=z^2+40, luego calcula a2+b2a^2+b^2
Match real and imaginary parts of z⊗z=z2+40,z\otimes z=z^2+40, then compute a2+b2a^2+b^2
Solución:
Con z=a+bi,z=a+bi, tenemos z⊗z=a2+b2iz\otimes z=a^2+b^2 i y z2+40=(a2−b2+40)+2abi.z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi. Las partes reales dan a2=a2−b2+40,a^2=a^2-b^2+40, así que b2=40.b^2=40. Las partes imaginarias dan b2=2ab,b^2=2ab, así que b=2ab=2a y a2=b24=10.a^2=\tfrac{b^2}{4}=10. Entonces ∣z∣2=a2+b2=50,|z|^2=a^2+b^2=50, por lo que ∣z∣=52.|z|=5\sqrt{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
With z=a+bi,z=a+bi, we have z⊗z=a2+b2iz\otimes z=a^2+b^2 i and z2+40=(a2−b2+40)+2abi.z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi. The real parts give a2=a2−b2+40,a^2=a^2-b^2+40, so b2=40.b^2=40. The imaginary parts give b2=2ab,b^2=2ab, so b=2ab=2a and a2=b24=10.a^2=\tfrac{b^2}{4}=10. Then ∣z∣2=a2+b2=50,|z|^2=a^2+b^2=50, so ∣z∣=52.|z|=5\sqrt{2}.
Thus, the correct answer is E.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B