Question

Para los números complejos $u=a+bi$ y $v=c+di,$ define la operación binaria $\otimes$ mediante

$u\otimes v=ac+bdi.$

Supón que $z$ es un número complejo tal que $z\otimes z=z^2+40.$ ¿Cuánto vale $|z|$ ?

For complex numbers $u=a+bi$ and $v=c+di,$ define the binary operation $\otimes$ by

$u\otimes v=ac+bdi.$

Suppose $z$ is a complex number such that $z\otimes z=z^2+40.$ What is $|z|?$

$2$

$5$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$5\sqrt{2}$

Solución:

Con $z=a+bi,$ tenemos $z\otimes z=a^2+b^2 i$ y $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.$ Las partes reales dan $a^2=a^2-b^2+40,$ así que $b^2=40.$ Las partes imaginarias dan $b^2=2ab,$ así que $b=2a$ y $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.$ Entonces $|z|^2=a^2+b^2=50,$ por lo que $|z|=5\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

With $z=a+bi,$ we have $z\otimes z=a^2+b^2 i$ and $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.$ The real parts give $a^2=a^2-b^2+40,$ so $b^2=40.$ The imaginary parts give $b^2=2ab,$ so $b=2a$ and $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.$ Then $|z|^2=a^2+b^2=50,$ so $|z|=5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años