Question

Supongamos que $S$ es un conjunto finito de enteros positivos. Si se elimina de $S$ el mayor entero de $S,$ entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es $32.$ Si también se elimina el menor entero de $S$ entonces el valor promedio de los enteros restantes es $35.$ Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a $40.$ El mayor entero del conjunto original $S$ es $72$ mayor que el menor entero de $S.$ ¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto $S$ ?

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers. If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$ What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

Respuesta: D

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $n=|S|,$ el total $T,$ el mayor $M,$ el menor $L;$ escribe cada promedio como una ecuación

Let $n=|S|,$ total $T,$ greatest $M,$ least $L;$ write each average as an equation

Pista grande:

Restar $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ de $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ da $M-L=8(n-1)$

Subtracting $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ from $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ gives $M-L=8(n-1)$

Solución:

Sea $n=|S|,$ sea $T$ el total, $M$ el mayor y $L$ el menor. Entonces $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ y $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Restando la primera de la tercera: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Como $M-L=72,$ obtenemos $n-1=9,$ así que $n=10.$

Entonces $T-M=288$ y $T-L=360.$ La ecuación del medio da $T-M-L=35\cdot 8=280,$ así que $L=288-280=8$ y $M=80.$

Así $T=288+80=368,$ y el promedio es $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $n=|S|,$ let $T$ be the total, $M$ the greatest, and $L$ the least. Then $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ and $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Subtracting the first from the third: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Since $M-L=72,$ we get $n-1=9,$ so $n=10.$

Then $T-M=288$ and $T-L=360.$ The middle equation gives $T-M-L=35\cdot 8=280,$ so $L=288-280=8$ and $M=80.$

Thus $T=288+80=368,$ and the average is $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años