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2021 AMC 12B Spring Problema 12

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 12 del 2021 AMC 12B Spring, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:mediasistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1630

12.

Supongamos que SS es un conjunto finito de enteros positivos. Si se elimina de SS el mayor entero de S,S, entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es 32.32. Si también se elimina el menor entero de S,S, entonces el valor promedio de los enteros restantes es 35.35. Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a 40.40. El mayor entero del conjunto original SS es 7272 mayor que el menor entero de S.S. ¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto SS?

Suppose that SS is a finite set of positive integers. If the greatest integer in SS is removed from S,S, then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is 32.32. If the least integer in SS is also removed, then the average value of the integers remaining is 35.35. If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to 40.40. The greatest integer in the original set SS is 7272 greater than the least integer in S.S. What is the average value of all the integers in the set S?S?

36.236.2

36.436.4

36.636.6

36.836.8

3737

Solución:

Sea n=∣S∣,n=|S|, sea TT el total, MM el mayor y LL el menor. Entonces T−Mn−1=32,\dfrac{T-M}{n-1}=32, T−M−Ln−2=35,\dfrac{T-M-L}{n-2}=35, y T−Ln−1=40.\dfrac{T-L}{n-1}=40.

Restando la primera de la tercera: M−Ln−1=8.\dfrac{M-L}{n-1}=8. Como M−L=72,M-L=72, obtenemos n−1=9,n-1=9, así que n=10.n=10.

Entonces T−M=288T-M=288 y T−L=360.T-L=360. La ecuación del medio da T−M−L=35⋅8=280,T-M-L=35\cdot 8=280, así que L=288−280=8L=288-280=8 y M=80.M=80.

Así T=288+80=368,T=288+80=368, y el promedio es 36810=36.8.\dfrac{368}{10}=36.8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let n=∣S∣,n=|S|, let TT be the total, MM the greatest, and LL the least. Then T−Mn−1=32,\dfrac{T-M}{n-1}=32, T−M−Ln−2=35,\dfrac{T-M-L}{n-2}=35, and T−Ln−1=40.\dfrac{T-L}{n-1}=40.

Subtracting the first from the third: M−Ln−1=8.\dfrac{M-L}{n-1}=8. Since M−L=72,M-L=72, we get n−1=9,n-1=9, so n=10.n=10.

Then T−M=288T-M=288 and T−L=360.T-L=360. The middle equation gives T−M−L=35⋅8=280,T-M-L=35\cdot 8=280, so L=288−280=8L=288-280=8 and M=80.M=80.

Thus T=288+80=368,T=288+80=368, and the average is 36810=36.8.\dfrac{368}{10}=36.8.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 12 en otros años

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