Question

Para cada entero positivo $n,$ la media de los primeros $n$ términos de una sucesión es $n.$ ¿Cuál es el término $2008$ de la sucesión?

For each positive integer $n,$ the mean of the first $n$ terms of a sequence is $n.$ What is the $2008$ th term of the sequence?

$2008$

$4015$

$4016$

$4{,}030{,}056$

$4{,}032{,}064$

Si la media de los primeros $n$ términos es $n,$ entonces su suma es $n^2$ .

If the mean of the first $n$ terms is $n,$ then their sum is $n^2$

El término $n$ es igual a la suma de los primeros $n$ menos la suma de los primeros $n - 1$ .

The $n$ th term equals the sum of the first $n$ minus the sum of the first $n - 1$

Como la media de los primeros $n$ términos es $n,$ su suma es $n \cdot n = n^2.$

El término $n$ es la diferencia de sumas consecutivas, $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.$

Para $n = 2008,$ el término es $2 \cdot 2008 - 1 = 4015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the mean of the first $n$ terms is $n,$ their sum is $n \cdot n = n^2.$

The $n$ th term is the difference of consecutive sums, $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.$

For $n = 2008,$ the term is $2 \cdot 2008 - 1 = 4015.$

Thus, the correct answer is B.