Question

Un supermercado tiene $128$ cajas de manzanas. Cada caja contiene al menos $120$ manzanas y a lo sumo $144$ manzanas. ¿Cuál es el mayor entero $n$ tal que necesariamente hay al menos $n$ cajas con la misma cantidad de manzanas?

A supermarket has $128$ crates of apples. Each crate contains at least $120$ apples and at most $144$ apples. What is the largest integer $n$ such that there must be at least $n$ crates containing the same number of apples?

$4$

$5$

$6$

$24$

$25$

Respuesta: C

Conceptos:principio del palomar conteo básico

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Cuenta las cantidades posibles de manzanas desde $120$ hasta $144$ , inclusive

Count the possible apple totals from $120$ through $144$ , inclusive

Pista grande:

Si cada cantidad apareciera a lo sumo cinco veces, habría como máximo $25\cdot5$ cajas

If every total occurred at most five times, there would be at most $25\cdot5$ crates

Solución:

Hay $144-120+1=25$ cantidades posibles de manzanas. Como $128>25\cdot5,$ alguna cantidad aparece al menos $6$ veces. La cota es alcanzable: se pueden distribuir las $128$ cajas de modo que tres cantidades aparezcan $6$ veces y las otras veintidós aparezcan $5$ veces. Por tanto, el mayor $n$ garantizado es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $144-120+1=25$ possible apple counts. Since $128>25\cdot5,$ some count occurs at least $6$ times. This is sharp: distribute $128$ crates so that three counts occur $6$ times and the other twenty-two occur $5$ times. Thus the largest guaranteed $n$ is $6.$

Therefore, the correct answer is C.

1976 AMC 12 Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años