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1976 AMC 12 Problema 11

Intenta el Problema 11 del 1976 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1976 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones equivalen a la afirmación «Si el elefante rosa del planeta alfa tiene ojos morados, entonces el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga»?

I.\mathrm{I}. «Si el cerdo salvaje del planeta beta tiene una nariz larga, entonces el elefante rosa del planeta alfa tiene ojos morados».

II.\mathrm{II}. «Si el elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados, entonces el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga».

III.\mathrm{III}. «Si el cerdo salvaje del planeta beta tiene una nariz larga, entonces el elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados».

IV.\mathrm{IV}. «El elefante rosa del planeta alfa no tiene ojos morados, o el cerdo salvaje del planeta beta no tiene una nariz larga».

La palabra «o» se usa aquí en sentido inclusivo, como es habitual en la escritura matemática.

Which of the following statements is (are) equivalent to the statement “If the pink elephant on planet alpha has purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose”?

I.\mathrm{I}. “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha has purple eyes.”

II.\mathrm{II}. “If the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, then the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

III.\mathrm{III}. “If the wild pig on planet beta has a long nose, then the pink elephant on planet alpha does not have purple eyes.”

IV.\mathrm{IV}. “The pink elephant on planet alpha does not have purple eyes, or the wild pig on planet beta does not have a long nose.”

The word “or” is used here in the inclusive sense (as is customary in mathematical writing).

solo I\mathrm{I} y III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III} only

solo III\mathrm{III} y IV\mathrm{IV}

III\mathrm{III} and IV\mathrm{IV} only

solo II\mathrm{II} y IV\mathrm{IV}

II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} only

solo II\mathrm{II} y III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

solo III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

Respuesta: B
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:

Escribe la implicación original como P⇒¬QP\mathbin{\Rightarrow}\neg Q

Write the original implication as P⇒¬QP\mathbin{\Rightarrow}\neg Q

Pista grande:

Usa tanto su contrapositiva como la disyunción equivalente ¬P∨¬Q\neg P\mathbin{\lor}\neg Q

Use both its contrapositive and the equivalent disjunction ¬P∨¬Q\neg P\mathbin{\lor}\neg Q

Solución:

Sea PP la afirmación de que el elefante tiene ojos morados y QQ la de que el cerdo tiene una nariz larga. La afirmación original P⇒¬QP\Rightarrow\neg Q equivale a su contrapositiva Q⇒¬P,Q\Rightarrow\neg P, que es III,\mathrm{III}, y a ¬P∨¬Q,\neg P\lor\neg Q, que es IV.\mathrm{IV}. Las afirmaciones I\mathrm{I} y II\mathrm{II} son recíprocas y no tienen por qué cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let PP mean the elephant has purple eyes and QQ mean the pig has a long nose. The original statement P⇒¬QP\Rightarrow\neg Q is equivalent to its contrapositive Q⇒¬P,Q\Rightarrow\neg P, which is III,\mathrm{III}, and to ¬P∨¬Q,\neg P\lor\neg Q, which is IV.\mathrm{IV}. Statements I\mathrm{I} and II\mathrm{II} are converses and need not follow.

Therefore, the correct answer is B.

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