Question

Dados los puntos $P(-1,-2)$ y $Q(4,2)$ en el plano $xy$ , se toma el punto $R(1,m)$ de modo que $PR+RQ$ sea mínimo. Entonces $m$ es igual a:

Given points $P(-1,-2)$ and $Q(4,2)$ in the $xy$ -plane, point $R(1,m)$ is taken so that $PR+RQ$ is a minimum. Then $m$ equals:

$-\dfrac35$

$-\dfrac25$

$-\dfrac15$

$\dfrac15$

$-\dfrac15$ o $\dfrac15$

either $-\dfrac15$ or $\dfrac15$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica pendiente desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

La desigualdad triangular se vuelve igualdad cuando $P,$ $R$ y $Q$ son colineales

The triangle inequality is sharp when $P,$ $R,$ and $Q$ are collinear

Pista grande:

Halla el punto de la recta $PQ$ cuya coordenada $x$ es $1$

Find the point on line $PQ$ whose $x$ -coordinate is $1$

Solución:

Por la desigualdad triangular, $PR+RQ\ge PQ,$ con igualdad cuando $R$ está en el segmento $PQ.$ La pendiente de $PQ$ es $\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.$ Al pasar de $x=-1$ a $x=1$ , la coordenada $y$ aumenta $(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},$ por lo que $m=-2+\frac85=-\frac25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the triangle inequality, $PR+RQ\ge PQ,$ with equality when $R$ lies on segment $PQ.$ The slope of $PQ$ is $\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.$ Moving from $x=-1$ to $x=1$ raises the $y$ -coordinate by $(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},$ so $m=-2+\frac85=-\frac25.$

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años