Question

En cada una de las figuras $\mathrm{I}$ a $\mathrm{IV}$ se muestra un círculo con un cuadrado circunscrito y otro inscrito, centrados en el origen $O$ de un sistema de coordenadas rectangulares cuyos ejes positivos $x$ e $y$ son $OX$ y $OY$ .

Las desigualdades $\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}$ están representadas geométricamente por la figura número

Representación geométrica: Una desigualdad $f(x,y)\le g(x,y)$ para todos $x,$ $y$ se representa mediante una figura que muestra, para un número real típico $a,$ la inclusión $\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}$

A circle with a circumscribed and an inscribed square centered at the origin $O$ of a rectangular coordinate system with positive $x$ - and $y$ -axes $OX$ and $OY$ is shown in each figure $\mathrm{I}$ to $\mathrm{IV}$ below.

The inequalities $\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}$ are represented geometrically by the figure numbered

Geometric representation: An inequality $f(x,y)\le g(x,y)$ for all $x,$ $y$ is represented by a figure showing, for a typical real number $a,$ the containment $\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}$

$\mathrm{I}$

$\mathrm{II}$

$\mathrm{III}$

$\mathrm{IV}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad geometría analítica círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Identifica las formas de los conjuntos de subnivel de $|x|+|y|,$ $\sqrt{2(x^2+y^2)},$ y $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)$

Identify the shapes of the sublevel sets for $|x|+|y|,$ $\sqrt{2(x^2+y^2)},$ and $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)$

Pista grande:

La desigualdad invierte el orden de inclusión de los conjuntos de subnivel correspondientes

The inequality reverses the order of containment of the corresponding sublevel sets

Solución:

Para un $a$ positivo fijo, el conjunto $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a$ es un cuadrado con lados paralelos a los ejes. El conjunto $\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a$ es su círculo circunscrito, y $|x|+|y|\le a$ es el rombo circunscrito a ese círculo. Por lo tanto, la disposición requerida es un cuadrado interior alineado con los ejes, luego un círculo y finalmente un rombo exterior, que corresponde a la figura $\mathrm{II}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a fixed positive $a,$ the set $2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a$ is an axis-aligned square. The set $\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a$ is its circumscribed circle, and $|x|+|y|\le a$ is the diamond circumscribed about that circle. Thus the required nesting is an inner axis-aligned square, then a circle, then an outer diamond, which is figure $\mathrm{II}.$

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años