Question

Si $\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,$ ¿cuántos dígitos tiene la representación en base diez de $x$ ?

If $\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,$ then how many digits are in the base-ten representation for $x?$

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

Respuesta: A

Conceptos:nested logarithms powers of two decimal digits

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Deshaz los logaritmos uno a uno, comenzando por el exterior

Undo the logarithms one at a time from the outside

Pista grande:

Los valores sucesivos son $2,$ $4,$ y $16$ antes de despejar $x$

The successive values are $2,$ $4,$ and $16$ before solving for $x$

Solución:

Al deshacer los logaritmos se obtiene $\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}$ Este número tiene $5$ dígitos decimales. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Undoing the logarithms gives $\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}$ This number has $5$ decimal digits. Thus the correct answer is A.

1993 AMC 12 Problema 11

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años