1993 AMC 12 第 11 题

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11.

log2(log2(log2(x)))=2\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,则 xx 的十进制表示有多少位?

If log2(log2(log2(x)))=2,\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2, then how many digits are in the base-ten representation for x?x?

55

77

99

1111

1313

答案:A
知识点:nested logarithmspowers of twodecimal digits
难度评级:1400
小提示:

从最外层开始,逐层撤销对数运算。

Undo the logarithms one at a time from the outside

大提示:

依次得到的值为 22441616,然后再求 xx

The successive values are 2,2, 4,4, and 1616 before solving for xx

解答:

逐层撤销对数运算,得到 log2(log2x)=4,log2x=16,x=216=65536 \begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536 \end{aligned}\text{。}这个数的十进制表示有 55 位。因此正确答案是 A

Undoing the logarithms gives log2(log2x)=4,log2x=16,x=216=65536. \begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned} This number has 55 decimal digits. Thus the correct answer is A.

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