Question

有多少个边平行于坐标轴、顶点坐标均为整数的正方形，完全位于由直线 $y=\pi x$ 、直线 $y=-0.1$ 和直线 $x=5.1$ 围成的区域内？

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1,$ and the line $x=5.1?$

$30$

$41$

$45$

$50$

$57$

答案：D

知识点：图形中的形状计数格点分类讨论

难度评级：1630

小提示：

该区域位于 $y=\pi x$ 下方；注意 $3\lt\pi\lt4$ 、 $6\lt2\pi\lt7$ 和 $9\lt3\pi\lt10$ 。

The region sits below $y=\pi x;$ note $3\lt\pi\lt4,$ $6\lt2\pi\lt7,$ and $9\lt3\pi\lt10$

大提示：

在每个竖条 $k\le x\le k+1$ 中，分别数能放在线下方的 $1\times1$ 、 $2\times2$ 和 $3\times3$ 正方形。

In each vertical strip $k\le x\le k+1,$ count the $1\times1,$ $2\times2,$ and $3\times3$ squares that fit below the line, then add them up

解答：

左边位于 $x=k$ 的正方形，必须低于其宽度范围内 $y=\pi x$ 的最低点，即 $y=\pi k$ 。对边长 $1$ ，可能的左边位置 $k=1,2,3,4$ 分别贡献 $3+6+9+12=30$ 个正方形。对边长 $2$ ，左边位置 $k=1,2,3$ 贡献 $2+5+8=15$ 个；对边长 $3$ ，左边位置 $k=1,2$ 贡献 $1+4=5$ 个。边长至少为 $4$ 的正方形无法放入，所以总数是 $30+15+5=50$ 。

因此，正确答案是 D。

A square whose left edge is $x=k$ must fit below the lowest point of $y=\pi x$ over its width, namely $y=\pi k.$ For side length $1,$ the possible left edges $k=1,2,3,4$ contribute $3+6+9+12=30$ squares. For side length $2,$ the left edges $k=1,2,3$ contribute $2+5+8=15,$ and for side length $3,$ the left edges $k=1,2$ contribute $1+4=5.$ A square of side at least $4$ cannot fit, so the total is $30+15+5=50.$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B 第 11 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题