Question

设 $c$ 为常数。联立方程 $\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3 \end{aligned}$ 的解 $(x,y)$ 位于第一象限的充要条件是

Let $c$ be a constant. The simultaneous equations $\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}$ have a solution $(x,y)$ inside Quadrant I if and only if

$c=-1$

$c\gt-1$

$c\lt\frac32$

$0\lt c\lt\frac32$

$-1\lt c\lt\frac32$

答案：E

知识点：linear system inequalities coordinate quadrants

难度评级：1500

小提示：

先解出 $x$ 与 $y$ ，再用 $c$ 表示

Solve the two equations for $x$ and $y$ in terms of $c$

大提示：

位于第一象限要求两个坐标都严格为正

Quadrant I requires both coordinates to be strictly positive

解答：

解方程组得 $x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}\text{。}$ 条件 $x\gt0$ 要求 $c\gt-1$ 。在分母为正的情况下， $y\gt0$ 等价于 $c\lt\frac{3}{2}$ 。因此 $-1\lt c\lt\frac{3}{2}$ 。

所以正确答案是 E。

Solving the system gives $x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}.$ The condition $x\gt0$ requires $c\gt-1.$ With this positive denominator, $y\gt0$ is equivalent to $c\lt\frac{3}{2}.$ Hence $-1\lt c\lt\frac{3}{2}.$

Thus the correct answer is E.

1987 AMC 12 第 11 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题