Question

求下列方程的一个正整数解： $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}\text{。}$

Find a positive integral solution to the equation $\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}.$

$110$

$115$

$116$

$231$

这个方程没有正整数解。

The equation has no positive integral solutions.

使用前 $n$ 个正奇数之和与前 $n$ 个正偶数之和

Use the sums of the first $n$ odd and first $n$ even positive integers

这个分数可化简为 $\frac{n}{n+1}$

The fraction simplifies to $\frac{n}{n+1}$

分子为 $n^2$ ，分母为 $n(n+1)$ 。因而 $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116}\text{，}$ 即 $116n=115n+115$ ，所以 $n=115$ 。

因此，正确答案是 B。

The numerator is $n^2,$ and the denominator is $n(n+1).$ Thus $\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116},$ which gives $116n=115n+115,$ so $n=115.$

Therefore, the correct answer is B.