Question

Una 同时掷 $6$ 个标准 $6$ 面骰，并计算掷出的 $6$ 个数的乘积。该乘积能被 $4$ 整除的概率是多少？

Una rolls $6$ standard $6$ -sided dice simultaneously and calculates the product of the $6$ numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by $4?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

答案：C

知识点：骰子（概率）对立事件概率

难度评级：1650

小提示：

用补集计数：乘积中少于两个因子 $2$ 。

Use complementary counting: the product has fewer than two factors of $2$

大提示：

追踪每个骰子贡献零个、一个或两个因子 $2$ 。

Track whether each die contributes zero, one, or two factors of $2$

解答：

当乘积中至多含一个因子 $2$ 时，它不能被 $4$ 整除。每个骰子掷出奇数的概率为 $\tfrac12$ ；恰好贡献一个因子 $2$ （即掷出 $2$ 或 $6$ ）的概率为 $\tfrac13$ ；贡献两个因子（即掷出 $4$ ）的概率为 $\tfrac16$ 。

六个骰子全为奇数： $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}$ 。恰有一个骰子为 $2$ 或 $6$ ，其余为奇数： $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}$ 。

不能被四整除的概率为 $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64}$ ，因此所求概率为 $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}$ 。

所以正确答案是 C。

The product fails to be divisible by $4$ when it has at most one factor of $2.$ Each die is odd with probability $\tfrac12,$ contributes exactly one factor of $2$ (a $2$ or $6$ ) with probability $\tfrac13,$ and two factors (a $4$ ) with probability $\tfrac16.$

All six odd: $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.$ Exactly one die a $2$ or $6$ and the rest odd: $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.$

The complement is $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},$ so the answer is $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 11 题

答案：C

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题