Question

正整数 $A$ 、 $B$ 、 $A-B$ 、 $A+B$ 全都是质数。这四个质数的和是

The positive integers $A,$ $B,$ $A-B,$ and $A+B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

偶数

even

能被 $3$ 整除

divisible by $3$

能被 $5$ 整除

divisible by $5$

能被 $7$ 整除

divisible by $7$

质数

prime

答案：E

知识点：奇偶性质数

难度评级：1430

小提示：

$A-B$ 和 $A+B$ 奇偶性相同，且二者都是质数，所以二者都是奇数。

$A-B$ and $A+B$ have the same parity, and both are prime, so both are odd

大提示：

于是 $B=2$ ，使 $A-2$ 、 $A$ 、 $A+2$ 成为三个成等差数列的质数。

Then $B=2,$ making $A-2,$ $A,$ $A+2$ three primes in arithmetic progression

解答：

$A-B$ 和 $A+B$ 奇偶性相同；因为两者都是质数，所以都是奇数，故 $A$ 与 $B$ 奇偶性相反。若 $A$ 为偶数，则质数 $A$ 必须等于 $2$ ，但正质数 $B$ 满足 $B\ge2$ ，从而 $A-B\le0$ 。因此 $A$ 是奇数，偶质数 $B$ 为 $2$ 。

于是 $A-2$ ， $A$ ，和 $A+2$ 是三个质数。其中一个能被 $3$ 整除，所以它必须等于 $3$ ；这三个数是 $3$ ， $5$ ，和 $7$ 。它们再加上 $2$ 的和为 $2+3+5+7=17$ ，也是质数。

所以正确答案是 E。

$A-B$ and $A+B$ have the same parity; being prime, both are odd, so $A$ and $B$ have opposite parity. If $A$ were even, then the prime $A$ would equal $2,$ but the positive prime $B$ would satisfy $B\ge2$ and make $A-B\le0.$ Hence $A$ is odd and the even prime $B$ is $2.$

Then $A-2,$ $A,$ $A+2$ are three primes. One is divisible by $3,$ so that one must equal $3;$ the triple is $3,$ $5,$ $7.$ Their sum together with $2$ is $2+3+5+7=17,$ a prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B 第 11 题

答案：E

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题