Question

有多少个整数 $n$ 使 $\dfrac{n}{20-n}$ 是某个整数的平方？

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20-n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

答案：D

知识点：完全平方数整除性

难度评级：1490

小提示：

令 $\dfrac{n}{20-n}=k^2$ ，并用 $k$ 表示 $n$ 。

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2$ and solve for $n$ in terms of $k$

大提示：

$n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}$ ；因为 $\gcd(k^2,k^2+1)=1$ ，所以 $k^2+1$ 必须整除 $20$ 。

$n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}$ ; since $\gcd(k^2,k^2+1)=1,$ $k^2+1$ must divide $20$

解答：

令 $\dfrac{n}{20-n}=k^2$ 。解得 $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}$ 。因为 $k^2$ 和 $k^2+1$ 互质，所以 $k^2+1$ 必须整除 $20$ ，这只在 $|k|=0,1,2,3$ 时发生。

$k$ 的正负不改变 $n$ ；这些值给出 $n=0$ ， $10$ ， $16$ ，和 $18$ ，共四个值。

所以正确答案是 D。

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Solving, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Since $k^2$ and $k^2+1$ are coprime, $k^2+1$ must divide $20,$ which happens only for $|k|=0,1,2,3.$

The signs of $k$ do not change $n;$ these give $n=0,$ $10,$ $16,$ and $18,$ which is four values.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1490

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题