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2020 AMC 12B 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

AB‾\overline{AB} 是半径为 525\sqrt2 的圆的一条直径。CD‾\overline{CD} 是圆中的一条弦，与 AB‾\overline{AB} 相交于点 EE，且满足 BE=25BE = 2\sqrt5、∠AEC=45∘\angle AEC = 45^\circ。求 CE2+DE2CE^2 + DE^2。

Let AB‾\overline{AB} be a diameter in a circle of radius 52.5\sqrt2. Let CD‾\overline{CD} be a chord in the circle that intersects AB‾\overline{AB} at a point EE such that BE=25BE = 2\sqrt5 and ∠AEC=45∘.\angle AEC = 45^\circ. What is CE2+DE2?CE^2 + DE^2?

9696

9898

44544\sqrt{5}

70270\sqrt{2}

100100

答案：E
知识点：坐标几何弦韦达定理
难度评级：1630
小提示：

把圆心放在原点，把 AB‾\overline{AB} 放在 xx-轴上，并从 EE 沿 45∘45^\circ 方向参数化这条弦。

Put the center at the origin with AB‾\overline{AB} on the xx-axis and parametrize the chord from EE at 45∘45^\circ

大提示：

若 t1,t2t_1, t_2 是从 EE 到 C,DC, D 的有向距离，则 CE2+DE2=t12+t22CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2。

If t1,t2t_1, t_2 are the signed distances from EE to C,D,C, D, then CE2+DE2=t12+t22CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2

解答：

将圆心置于原点，AB‾\overline{AB} 放在 xx-轴上；半径为 R=52R = 5\sqrt2，所以 R2=50R^2 = 50。于是 E=(xE,0)E = (x_E, 0)，其中 xE=R−25x_E = R - 2\sqrt5，但它的具体值不需要算出。

把弦参数化为 E+t(12,12)E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)。代入圆方程 x2+y2=50x^2 + y^2 = 50 得到 t2+2 xE t+(xE2−50)=0t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0，其根 t1,t2t_1, t_2 是到 CC 和 DD 的有向距离。

由韦达定理，t1+t2=−2 xEt_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E，且 t1t2=xE2−50t_1 t_2 = x_E^2 - 50，所以 CE2+DE2=t12+t22=(t1+t2)2−2t1t2=2xE2−2(xE2−50)=100。 \begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 E。

Place the center at the origin with AB‾\overline{AB} on the xx-axis; the radius is R=52,R = 5\sqrt2, so R2=50.R^2 = 50. Then E=(xE,0)E = (x_E, 0) with xE=R−25x_E = R - 2\sqrt5 (its exact value is not needed).

Parametrize the chord as E+t(12,12).E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right). Substituting into x2+y2=50x^2 + y^2 = 50 gives t2+2 xE t+(xE2−50)=0,t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0, whose roots are the signed distances t1,t2t_1, t_2 to CC and D.D.

By Vieta, t1+t2=−2 xEt_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E and t1t2=xE2−50,t_1 t_2 = x_E^2 - 50, so CE2+DE2=t12+t22=(t1+t2)2−2t1t2=2xE2−2(xE2−50)=100. \begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

第 11 题#11
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第 13 题#13

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