Question

坐标平面中的直线 $\ell$ 方程为 $3x - 5y + 40 = 0$ 。将这条直线绕点 $(20, 20)$ 逆时针旋转 $45^\circ$ ，得到直线 $k$ 。直线 $k$ 的 $x$ 轴截距的 $x$ 坐标是多少？

Line $\ell$ in the coordinate plane has the equation $3x - 5y + 40 = 0.$ This line is rotated $45^\circ$ counterclockwise about the point $(20, 20)$ to obtain line $k.$ What is the $x$ -coordinate of the $x$ -intercept of line $k?$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

答案：B

知识点：斜率变换坐标几何

难度评级：1630

小提示：

点 $(20, 20)$ 在 $\ell$ 上，所以也在 $k$ 上；求新的斜率

The point $(20, 20)$ lies on $\ell,$ so it also lies on $k;$ find the new slope

大提示：

斜率 $m$ 旋转 $45^\circ$ 后变为 $\dfrac{m + 1}{1 - m}$ 。

Rotating a slope $m$ by $45^\circ$ gives $\dfrac{m + 1}{1 - m}$

解答：

注意 $(20, 20)$ 满足 $3x - 5y + 40 = 0$ ，所以它在 $\ell$ 上，旋转后仍在 $k$ 上。 $\ell$ 的斜率为 $\tfrac{3}{5}$ 。

旋转 $45^\circ$ 后的斜率为 $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4$ 。

直线 $k$ 为 $y - 20 = 4(x - 20)$ 。令 $y = 0$ 得到 $-20 = 4(x - 20)$ ，所以 $x - 20 = -5$ ，即 $x = 15$ 。

因此，正确答案是 B。

Note $(20, 20)$ satisfies $3x - 5y + 40 = 0,$ so it is on $\ell$ and remains on $k.$ The slope of $\ell$ is $\tfrac{3}{5}.$

Rotating by $45^\circ$ gives slope $\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.$

Line $k$ is $y - 20 = 4(x - 20).$ Setting $y = 0$ gives $-20 = 4(x - 20),$ so $x - 20 = -5$ and $x = 15.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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