Question

下式的展开式共有 $1001$ 项，其中系数为有理数的项有多少个？ $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}\text{？}$

What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms in the expansion of $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

$0$

$166$

$167$

$500$

$501$

答案：C

知识点：二项式定理整除性

难度评级：1630

小提示：

指数为 $k$ 的项带有 $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}}$ ；要有理，需要 $1000 - k$ 是 $3$ 的倍数，且 $k$ 是 $2$ 的倍数。

The term for index $k$ carries $2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};$ rationality needs $1000 - k$ to be a multiple of $3$ and $k$ to be a multiple of $2$

大提示：

这些条件给出 $k \equiv 1 \pmod 3$ 且 $k$ 为偶数，即 $k \equiv 4 \pmod 6$ 。

These force $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, i.e. $k \equiv 4 \pmod 6$

解答：

通项为 $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k}$ ，其系数含有 $2^{\frac{1000-k}{3}}$ 和 $3^{\frac{k}{2}}$ 。它有理当且仅当 $(1000 - k)$ 是 $3$ 的倍数且 $k$ 为偶数。

因为 $1000 \equiv 1 \pmod 3$ ，所以需要 $k \equiv 1 \pmod 3$ 且 $k$ 为偶数，合并得 $k \equiv 4 \pmod 6$ 。有效值为 $k = 4, 10, \ldots, 1000$ ，共有 $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167$ 个。

所以正确答案是 C。

The general term is $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ whose coefficient contains $2^{\frac{1000-k}{3}}$ and $3^{\frac{k}{2}}.$ This is rational exactly when $(1000 - k)$ is a multiple of $3$ and $k$ is even.

Since $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ we need $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, which combine to $k \equiv 4 \pmod 6.$ The valid values $k = 4, 10, \ldots, 1000$ number $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Fall 第 12 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题