Question

$\overline{AB}$ 是 $\triangle ABC$ 的一条边，长度为 $10$ 。角 $A$ 的角平分线交 $\overline{BC}$ 于 $D$ ，且 $CD=3$ 。所有可能的 $AC$ 值构成开区间 $(m, n)$ 。求 $m+n$ 。

Side $\overline{AB}$ of $\triangle ABC$ has length $10.$ The bisector of angle $A$ meets $\overline{BC}$ at $D,$ and $CD=3.$ The set of all possible values of $AC$ is an open interval $(m, n).$ What is $m+n?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：C

知识点：角平分线定理三角不等式

难度评级：1820

小提示：

由角平分线定理， $\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}$ 。

By the angle bisector theorem, $\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}$

大提示：

令 $AC=q$ 则 $BD=\dfrac{30}{q}$ ；再应用三个三角形不等式。

Let $AC=q,$ so $BD=\dfrac{30}{q};$ then apply the three triangle inequalities

解答：

令 $q=AC$ ， $r=BD$ 。由角平分线定理， $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}$ ，所以 $r=\tfrac{30}{q}$ 。

对三角形三边 $q$ 、 $10$ 、 $3+r$ 应用三角形不等式，并代入 $r=\tfrac{30}{q}$ 得到 $(q-15)(q+2)\lt0$ 和 $(q-3)(q+10)\gt0$ （第三个不等式自动成立）。合起来得到 $3\lt q\lt15$ 。

所以 $(m,n)=(3,15)$ ，且 $m+n=18$ 。

所以正确答案是 C。

Let $q=AC$ and $r=BD.$ The angle bisector theorem gives $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},$ so $r=\tfrac{30}{q}.$

Applying the triangle inequalities to sides $q,$ $10,$ and $3+r$ and substituting $r=\tfrac{30}{q}$ yields $(q-15)(q+2)\lt0$ and $(q-3)(q+10)\gt0$ (the third inequality holds automatically). Together these force $3\lt q\lt15.$

So $(m,n)=(3,15)$ and $m+n=18.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 12 题

答案：C

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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