Question

二次方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的根是 $x^2 + px + m = 0$ 的根的两倍，且 $m$ ， $n$ ， $p$ 都不为零。 $\dfrac{n}{p}$ 是多少？

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m,$ $n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

答案：D

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1530

小提示：

设 $x^2 + px + m = 0$ 的根为 $r_1, r_2$ ；另一个方程的根为 $2r_1, 2r_2$ 。

Let $r_1, r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0$ ; the other equation has roots $2r_1, 2r_2$

大提示：

用韦达定理把 $m, n, p$ 写成 $r_1 r_2$ 和 $r_1 + r_2$ 的式子。

Write $m, n, p$ in terms of $r_1 r_2$ and $r_1 + r_2$ using Vieta’s formulas

解答：

设 $r_1$ 和 $r_2$ 是 $x^2 + px + m = 0$ 的根，则 $m = r_1 r_2$ ，且 $p = -(r_1 + r_2)$ 。

方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的根为 $2r_1$ 和 $2r_2$ ，所以 $n = 4r_1 r_2$ ，且 $m = -2(r_1 + r_2)$ 。

于是 $n = 4m$ ，且 $m = 2p$ ，即 $p = \dfrac{m}{2}$ ，所以 $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8\text{。}$

所以正确答案是 D。

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $m = -2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = 2p,$ which gives $p = \dfrac{m}{2},$ so $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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