Question

设 $A = (0, 9)$ 且 $B = (0, 12)$ 。点 $A'$ 和 $B'$ 在直线 $y = x$ 上，并且 $\overline{AA'}$ 与 $\overline{BB'}$ 交于 $C = (2, 8)$ 。 $\overline{A'B'}$ 的长度是多少？

Let $A = (0, 9)$ and $B = (0, 12).$ Points $A'$ and $B'$ are on the line $y = x,$ and $\overline{AA'}$ and $\overline{BB'}$ intersect at $C = (2, 8).$ What is the length of $\overline{A'B'}?$

$2$

$2\sqrt{2}$

$3$

$2 + \sqrt{2}$

$3\sqrt{2}$

答案：B

知识点：坐标几何距离公式

难度评级：1480

小提示：

求出直线 $AC$ 和 $BC$ 的方程，再分别与 $y = x$ 相交。

Find the equations of lines $AC$ and $BC,$ then intersect each with $y = x$

大提示：

$A'$ 和 $B'$ 都在 $y = x$ 上，所以各自的两个坐标相等。

$A'$ and $B'$ both lie on $y = x,$ so each has equal coordinates

解答：

直线 $AC$ 经过 $(0, 9)$ ，斜率为 $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12$ ，所以方程是 $y = -\tfrac12 x + 9$ 。令 $y = x$ ，得到 $A' = (6, 6)$ 。

直线 $BC$ 经过 $(0, 12)$ ，斜率为 $-2$ ，所以方程是 $y = -2x + 12$ 。令 $y = x$ ，得到 $B' = (4, 4)$ 。

因此 $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Line $AC$ passes through $(0, 9)$ with slope $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,$ so its equation is $y = -\tfrac12 x + 9.$ Setting $y = x$ gives $A' = (6, 6).$

Line $BC$ passes through $(0, 12)$ with slope $-2,$ so $y = -2x + 12.$ Setting $y = x$ gives $B' = (4, 4).$

Then $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

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