Question

一个凸六边形的内角度数构成一个由正整数组成的等差数列。设其最大内角的度数为 $m^\circ$ 。 $m^\circ$ 的最大可能值为

The measures (in degrees) of the interior angles of a convex hexagon form an arithmetic sequence of positive integers. Let $m^\circ$ be the measure of the largest interior angle of the hexagon. The largest possible value of $m^\circ$ is

$165^\circ$

$167^\circ$

$170^\circ$

$175^\circ$

$179^\circ$

答案：D

知识点：polygon angle sum 等差数列整除性

难度评级：1630

小提示：

把各角写成 $a,a+d,\ldots,a+5d$ ，并利用它们的和

Write the angles as $a,a+d,\ldots,a+5d$ and use their sum

大提示：

所得方程迫使 $d$ 为偶数，而凸性要求最大角小于 $180^\circ$

The equation forces $d$ to be even, and convexity bounds the largest angle below $180^\circ$

解答：

内角和为 $720^\circ$ ，所以 $\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $d$ 为偶数。最大角为 $a+5d=120+\frac52d$ ，且必须小于 $180$ 。所以 $d\lt24$ ，允许的最大偶数为 $d=22$ 。此时 $a=65$ ，且 $m=65+5(22)=175$ 。

因此正确答案为 D。

The angle sum is $720^\circ,$ so $\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240. \end{aligned}$ Hence $d$ is even. The largest angle is $a+5d=120+\frac52d,$ which must be less than $180.$ Thus $d\lt24,$ and the largest allowable even value is $d=22.$ It gives $a=65$ and $m=65+5(22)=175.$

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 第 12 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题