Question

满足方程的实数 $x$ 的个数

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

为：

The number of real values of $x$ that satisfy the equation

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

大于 $3$

greater than $3$

答案：E

知识点：代数变形指数

难度评级：1110

小提示：

将每一项都改写成以 $2$ 为底

Rewrite every term with base $2$

大提示：

在求 $x$ 之前，先比较等式两边的总指数

Compare the total exponent on each side before trying to solve for $x$

解答：

改写成以 $2$ 为底后，左边的指数为 $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15 \end{aligned}\text{，}$ 而右边的指数为 $3(4x+5)=12x+15$ 。该方程对每个实数 $x$ 都是恒等式，所以实数解多于三个。

因此，正确答案是 E。

In base $2,$ the left exponent is $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}$ and the right exponent is $3(4x+5)=12x+15.$ The equation is an identity for every real $x,$ so it has more than three real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 第 12 题

答案：E

难度评级：1110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题