1982 AMC 12 第 12 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1982 AMC 12 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

设 $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为常数。若 $f(-7)=7$ ，则 $f(7)$ 等于

Let $f(x)=ax^7+bx^3+cx-5,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are constants. If $f(-7)=7,$ then $f(7)$ equals

$-17$

$-7$

$14$

$21$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：A

知识点：对称性（代数）多项式函数

难度评级：1360

小提示：

将常数项与含奇次幂的各项分开

Separate the constant term from the odd-powered terms

大提示：

令 $g(x)=f(x)+5$ ，比较 $g(7)$ 与 $g(-7)$

If $g(x)=f(x)+5,$ compare $g(7)$ and $g(-7)$

解答：

令 $g(x)=ax^7+bx^3+cx$ ，则它是奇函数。由 $f(-7)=g(-7)-5=7$ ，得 $g(-7)=12$ 。因此 $g(7)=-12$ ，从而 $f(7)=-12-5=-17$ 。

因此，正确答案为 A。

Let $g(x)=ax^7+bx^3+cx,$ which is odd. Since $f(-7)=g(-7)-5=7,$ $g(-7)=12.$ Therefore $g(7)=-12,$ and $f(7)=-12-5=-17.$

Therefore, the correct answer is A.

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