Question

设 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是三个互不相同的一位数。方程 $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0$ 的根的和的最大值是多少？

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0?$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

答案：D

知识点：因式分解最优化

难度评级：1540

小提示：

提取公因式 $(x - b)$

Factor out the common $(x - b)$

大提示：

两个根是 $b$ 和 $\dfrac{a + c}{2}$ ；在互异数字中最大化 $b + \dfrac{a + c}{2}$ 。

The roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2};$ maximize $b + \dfrac{a + c}{2}$ over distinct digits

解答：

因式分解得 $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0$ ，所以两个根是 $b$ 和 $\dfrac{a + c}{2}$ 。它们的和是 $b + \dfrac{a + c}{2}$ 。

使用互不相同的数字，取 $b = 9$ 且 $a + c = 8 + 7 = 15$ ，得 $9 + 7.5 = 16.5$ 。

因此，正确选项是 D。

Factoring gives $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,$ so the roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2}.$ Their sum is $b + \dfrac{a + c}{2}.$

Using distinct digits, take $b = 9$ and $a + c = 8 + 7 = 15,$ giving $9 + 7.5 = 16.5.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题