若 a≠ b 、 a^3-b^3=19x^3 、 a-b=x ，则下列哪个结论正确？

1975 AMC 12 第 12 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1975 AMC 12 第 12 题

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12.

若 $a\ne b$ 、 $a^3-b^3=19x^3$ 、 $a-b=x$ ，则下列哪个结论正确？

If $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ and $a-b=x,$ which of the following conclusions is correct?

$a=3x$

$a=3x$ 或 $a=-2x$

$a=3x$ or $a=-2x$

$a=-3x$ 或 $a=2x$

$a=-3x$ or $a=2x$

$a=3x$ 或 $a=2x$

$a=3x$ or $a=2x$

$a=2x$

答案：B

知识点：立方和与立方差因式分解二次方程

难度评级：1620

小提示：

分解 $a^3-b^3$ ，并利用 $x=a-b\ne0$

Factor $a^3-b^3$ and use $x=a-b\ne0$

大提示：

代入 $b=a-x$ ，并注意此前可以除以 $x$

Substitute $b=a-x$ after dividing by $x$

解答：

因式分解并除以 $x\ne0$ ，得 $a^2+ab+b^2=19x^2$ 。代入 $b=a-x$ ， $3a^2-3ax+x^2=19x^2\text{，}$ 因而 $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0\text{。} \end{aligned}$ 所以 $a=3x$ 或 $a=-2x$ 。

因此，正确答案是 B。

Factoring and dividing by $x\ne0$ gives $a^2+ab+b^2=19x^2.$ With $b=a-x,$ $3a^2-3ax+x^2=19x^2,$ so $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned}$ Hence $a=3x$ or $a=-2x.$

Therefore, the correct answer is B.

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