Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=6$ 、 $BC=7$ 、 $CA=8$ 。点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$ 。点 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{BE}$ 平分 $\angle ABC$ 。两条角平分线交于 $F$ 。比值 $AF:FD$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ and $CA=8.$ Point $D$ lies on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ Point $E$ lies on $\overline{AC},$ and $\overline{BE}$ bisects $\angle ABC.$ The bisectors intersect at $F.$ What is the ratio $AF:FD?$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$7:3$

$5:2$

答案：C

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1500

小提示：

在 $\triangle ABC$ 中应用角平分线定理求 $BD$ 。

Apply the Angle Bisector Theorem in $\triangle ABC$ to find $BD$

大提示：

在 $\triangle ABD$ 中，线段 $BF$ 平分 $\angle ABD$ ，所以 $AF:FD=AB:BD$ 。

In $\triangle ABD,$ segment $BF$ bisects $\angle ABD,$ so $AF:FD=AB:BD$

解答：

在 $\triangle ABC$ 中应用角平分线定理，得到 $BD:DC=AB:AC=6:8$ ，所以 $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3$ 。

在 $\triangle ABD$ 中， $BF$ 平分 $\angle ABD$ ，再次应用角平分线定理可得 $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Applying the Angle Bisector Theorem to $\triangle ABC$ gives $BD:DC=AB:AC=6:8,$ so $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Now $BF$ lies along the bisector of $\angle ABD$ in $\triangle ABD,$ so by the Angle Bisector Theorem again, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A 第 12 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题