Question

对于复数 $u=a+bi$ 和 $v=c+di$ ，定义二元运算 $\otimes$ 为

$u\otimes v=ac+bdi\text{。}$

设 $z$ 是一个复数，满足 $z\otimes z=z^2+40$ 。 $|z|$ 是多少？

For complex numbers $u=a+bi$ and $v=c+di,$ define the binary operation $\otimes$ by

$u\otimes v=ac+bdi.$

Suppose $z$ is a complex number such that $z\otimes z=z^2+40.$ What is $|z|?$

$2$

$5$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$5\sqrt{2}$

答案：E

知识点：自定义运算复数方程组

难度评级：1630

小提示：

写 $z=a+bi$ ；则 $z\otimes z=a^2+b^2 i$ 而 $z^2=a^2-b^2+2abi$ 。

Write $z=a+bi;$ then $z\otimes z=a^2+b^2 i$ while $z^2=a^2-b^2+2abi$

大提示：

比较 $z\otimes z=z^2+40$ 的实部和虚部，然后计算 $a^2+b^2$ 。

Match real and imaginary parts of $z\otimes z=z^2+40,$ then compute $a^2+b^2$

解答：

令 $z=a+bi$ ，则 $z\otimes z=a^2+b^2 i$ ，且 $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi$ 。比较实部得 $a^2=a^2-b^2+40$ ，所以 $b^2=40$ 。比较虚部得 $b^2=2ab$ ，所以 $b=2a$ ， $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10$ 。因此 $|z|^2=a^2+b^2=50$ ，所以 $|z|=5\sqrt{2}$ 。

因此，正确答案是 E。

With $z=a+bi,$ we have $z\otimes z=a^2+b^2 i$ and $z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.$ The real parts give $a^2=a^2-b^2+40,$ so $b^2=40.$ The imaginary parts give $b^2=2ab,$ so $b=2a$ and $a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.$ Then $|z|^2=a^2+b^2=50,$ so $|z|=5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 12 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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