Question

在三角形 $ABC$ 内作一个菱形，使其一个顶点为 $A$ ，且两条边分别位于 $AB$ 和 $AC$ 上。若 $AC=6$ 英寸， $AB=12$ 英寸，且 $BC=8$ 英寸，则菱形的边长（英寸）为：

A rhombus is inscribed in triangle $ABC$ in such a way that one of its vertices is $A$ and two of its sides lie along $AB$ and $AC.$ If $AC=6$ inches, $AB=12$ inches, and $BC=8$ inches, the side of the rhombus, in inches, is:

$2$

$3$

$3\dfrac12$

$4$

$5$

答案：D

知识点：菱形相似比与比例

难度评级：1720

小提示：

设菱形边长为 $s$ ；相邻顶点分别位于 $AB$ 的 $\frac{s}{12}$ 位置与 $AC$ 的 $\frac{s}{6}$ 位置

Let the rhombus side be $s$ , with adjacent vertices $\frac{s}{12}$ of the way along $AB$ and $\frac{s}{6}$ along $AC$

大提示：

菱形的对角顶点位于 $BC$ 上，因此它的两个仿射系数之和为 $1$

The opposite rhombus vertex lies on $BC$ , so its two affine coefficients sum to $1$

解答：

以 $A$ 为原点，并设从原点指向 $B,C$ 的向量分别为 $u,v$ 。若菱形边长为 $s$ ，则其对角顶点为 $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v$ 。当这两个系数之和为 $1$ 时，该点位于 $BC$ 上。因此 $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1\text{，}$ 从而 $s=4$ 。

因此，正确答案是 D。

Use $A$ as the origin and let the vectors to $B,C$ be $u,v.$ If the rhombus side is $s,$ its opposite vertex is $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.$ A point lies on $BC$ when these coefficients sum to $1.$ Thus $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,$ giving $s=4.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 12 题

答案：D

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题