若 g(x)=1-x^2 ，且 f(g(x))=(1-x^2)/(x^2) 在 x\ne0 时成立，则 f((1)/(2)) 等于

1974 AMC 12 第 12 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1974 AMC 12 第 12 题

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12.

若 $g(x)=1-x^2$ ，且 $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ 在 $x\ne0$ 时成立，则 $f(\frac{1}{2})$ 等于

If $g(x)=1-x^2$ and $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ when $x\ne0,$ then $f(\frac{1}{2})$ equals

$\frac{3}{4}$

$1$

$3$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

答案：B

知识点：函数换元法

难度评级：1620

小提示：

选取一个非零 $x$ ，使 $g(x)=\frac{1}{2}$

Choose a nonzero $x$ for which $g(x)=\frac{1}{2}$

大提示：

方程 $1-x^2=\frac{1}{2}$ 可直接确定 $x^2$

The equation $1-x^2=\frac{1}{2}$ determines $x^2$ directly

解答：

若 $g(x)=\frac{1}{2}$ ，则 $x^2=\frac{1}{2}$ ，对应的两个 $x$ 都非零。因此 $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\text{。}$

因此，正确答案是 B。

If $g(x)=\frac{1}{2},$ then $x^2=\frac{1}{2},$ and either corresponding $x$ is nonzero. Hence $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.$

Therefore, the correct answer is B.

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