Question

从整数到整数的函数 $f$ 定义如下： $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{若 $n$ 为奇数},\\ \frac{n}{2} & \text{若 $n$ 为偶数} \end{cases}\text{。}$ 假设 $k$ 是奇数，且 $f(f(f(k)))=27$ 。 $k$ 的各位数字之和是多少？

A function $f$ from the integers to the integers is defined as follows: $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{if $n$ is odd},\\ \frac{n}{2} & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$ Suppose $k$ is odd and $f(f(f(k)))=27.$ What is the sum of the digits of $k?$

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

答案：B

知识点：piecewise functions 奇偶性

难度评级：1570

小提示：

因为 $k$ 是奇数，第一次迭代得到 $k+3$ ，它是偶数

Because $k$ is odd, the first iterate is $k+3$ , which is even

大提示：

从 $27$ 开始反向推算，并检查每个逆向分支所要求的奇偶性

Work backward from $27$ , checking the parity required by each inverse branch

解答：

因为 $k$ 是奇数，所以 $f(k)=k+3$ 是偶数，于是 $f(f(k))=\frac{k+3}{2}$ 。若这个值是奇数，加上 $3$ 不可能得到 $27$ ，因为这会要求该值为 $24$ 。因此它是偶数，除以二后得到 $27$ ，所以 $\frac{k+3}{2}=54$ 。由此 $k=105$ ，其各位数字之和为 $6$ 。正确答案是 B。

Since $k$ is odd, $f(k)=k+3$ is even, so $f(f(k))=\frac{k+3}{2}.$ If this value were odd, adding $3$ could not produce $27$ because that would require the value $24.$ Therefore it is even and is halved to $27,$ so $\frac{k+3}{2}=54.$ Hence $k=105,$ whose digits sum to $6.$ The correct answer is B.

1996 AMC 12 第 12 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题