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1958 AMC 12 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

若 P=s(1+k)nP=\dfrac{s}{(1+k)^n}，则 nn 等于：

If P=s(1+k)n,P=\dfrac{s}{(1+k)^n}, then nn equals:

log⁡(sP)log⁡(1+k)\dfrac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}

log⁡sP(1+k)\log\dfrac{s}{P(1+k)}

log⁡s−P1+k\log\dfrac{s-P}{1+k}

log⁡sP+log⁡(1+k)\log\dfrac{s}{P}+\log(1+k)

log⁡slog⁡(P(1+k))\dfrac{\log s}{\log(P(1+k))}

答案：A
知识点：对数指数代数变形
难度评级：1300
小提示：

对方程两边取对数

Take logarithms of both sides of the equation

大提示：

利用 log⁡P=log⁡s−nlog⁡(1+k)\log P=\log s-n\log(1+k) 解出 nn

Use log⁡P=log⁡s−nlog⁡(1+k)\log P=\log s-n\log(1+k) and isolate nn

解答：

取对数得 log⁡P=log⁡s−nlog⁡(1+k)。 \log P=\log s-n\log(1+k)\text{。}因此 n=log⁡s−log⁡Plog⁡(1+k)=log⁡(sP)log⁡(1+k)。 n=\frac{\log s-\log P}{\log(1+k)} =\frac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}\text{。}

所以正确答案为 A。

Taking logarithms, log⁡P=log⁡s−nlog⁡(1+k). \log P=\log s-n\log(1+k). Therefore n=log⁡s−log⁡Plog⁡(1+k)=log⁡(sP)log⁡(1+k). n=\frac{\log s-\log P}{\log(1+k)} =\frac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}.

Thus, the correct answer is A.

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