Question

对正整数 $n$ ，令 $f(n)$ 为 $n$ 的所有正因数之和除以 $n$ 得到的商。例如， $\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}\text{。} \end{aligned}$ 求 $f(768) - f(384)$ ？

For $n$ a positive integer, let $f(n)$ be the quotient obtained when the sum of all positive divisors of $n$ is divided by $n.$ For example, $\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}$ What is $f(768) - f(384)?$

$\dfrac{1}{768}$

$\dfrac{1}{192}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{8}{3}$

答案：B

知识点：因数之和质因数分解

难度评级：1760

小提示：

分解 $768 = 2^8 \cdot 3$ 和 $384 = 2^7 \cdot 3$ ，再使用质数幂的因数和函数 $\sigma$ 。

Factor $768 = 2^8 \cdot 3$ and $384 = 2^7 \cdot 3,$ then use $\sigma$ of a prime power

大提示：

把两个值都化为分母为 $192$ 的分数。

Put both over a common denominator of $192$

解答：

因为 $768 = 2^8 \cdot 3$ ，它的因数和是 $(2^9 - 1)(1 + 3)$ $= 511 \cdot 4 = 2044$ ，所以 $f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}$ 。

因为 $384 = 2^7 \cdot 3$ ，它的因数和是 $(2^8 - 1)(1 + 3)$ $= 255 \cdot 4 = 1020$ ，所以 $f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}$ 。

差为 $\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}$ 。

所以正确答案是 B。

Since $768 = 2^8 \cdot 3,$ its divisor sum is $(2^9 - 1)(1 + 3)$ $= 511 \cdot 4 = 2044,$ so $f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.$

Since $384 = 2^7 \cdot 3,$ its divisor sum is $(2^8 - 1)(1 + 3)$ $= 255 \cdot 4 = 1020,$ so $f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.$

The difference is $\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 12 题

答案：B

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

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