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2001 AMC 12 第 12 题

先试着解答 2001 AMC 12 第 12 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2001 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

不超过 20012001 的正整数中，有多少个是 33 或 44 的倍数，但不是 55 的倍数？

How many positive integers not exceeding 20012001 are multiples of 33 or 44 but not 5?5?

768768

801801

934934

10671067

11671167

答案：B
知识点：容斥原理区间内整数计数倍数
难度评级：1540
小提示：

先用 ⌊20013⌋\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor +⌊20014⌋+ \lfloor \frac{2001}{4} \rfloor −⌊200112⌋- \lfloor \frac{2001}{12} \rfloor 计算 33 或 44 的倍数

First count multiples of 33 or 44 using ⌊20013⌋\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor +⌊20014⌋+ \lfloor \frac{2001}{4} \rfloor −⌊200112⌋- \lfloor \frac{2001}{12} \rfloor

大提示：

再减去其中也能被 55 整除的数，也就是 1515 或 2020 的倍数

Then subtract those also divisible by 5,5, i.e. the multiples of 1515 or 2020

解答：

不超过 20012001 的 33 或 44 的倍数共有 667+500−166=1001， 667 + 500 - 166 = 1001\text{，} 这里用到 ⌊20013⌋=667\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor = 667、⌊20014⌋=500\lfloor \frac{2001}{4} \rfloor = 500 以及 ⌊200112⌋=166\lfloor \frac{2001}{12} \rfloor = 166。

其中能被 55 整除的是 1515 或 2020 的倍数，共有 133+100−33=200， 133 + 100 - 33 = 200\text{，} 这里用到 ⌊200115⌋=133\lfloor \frac{2001}{15} \rfloor = 133、⌊200120⌋=100\lfloor \frac{2001}{20} \rfloor = 100 以及 ⌊200160⌋=33\lfloor \frac{2001}{60} \rfloor = 33。

所求个数为 1001−200=8011001 - 200 = 801。

因此，正确答案是 B。

Multiples of 33 or 44 up to 20012001 number 667+500−166=1001, 667 + 500 - 166 = 1001, using ⌊20013⌋=667,\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor = 667, ⌊20014⌋=500,\lfloor \frac{2001}{4} \rfloor = 500, and ⌊200112⌋=166.\lfloor \frac{2001}{12} \rfloor = 166.

Among these, the ones divisible by 55 are multiples of 1515 or 2020: 133+100−33=200, 133 + 100 - 33 = 200, using ⌊200115⌋=133,\lfloor \frac{2001}{15} \rfloor = 133, ⌊200120⌋=100,\lfloor \frac{2001}{20} \rfloor = 100, and ⌊200160⌋=33.\lfloor \frac{2001}{60} \rfloor = 33.

The count is 1001−200=801.1001 - 200 = 801.

Thus, the correct answer is B.

第 11 题#11
完整试卷
第 13 题#13

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