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1956 AMC 12 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

x−1−1x^{-1}-1 除以 x−1x-1 的商为：

If x−1−1x^{-1}-1 is divided by x−1x-1 the quotient is:

11

1x−1\dfrac1{x-1}

−1x−1-\dfrac1{x-1}

1x\dfrac1x

−1x-\dfrac1x

答案：E
知识点：negative exponentsrational expressions因式分解
难度评级：1180
小提示：

将 x−1−1x^{-1}-1 改写为 1x−1\frac{1}{x}-1

Rewrite x−1−1x^{-1}-1 as 1x−1\frac{1}{x}-1

大提示：

利用 1−x=−(x−1)1-x=-(x-1) 因式分解

Factor 1−x=−(x−1)1-x=-(x-1)

解答：

在商有定义的地方，x−1−1x−1=1−xxx−1=−(x−1)x(x−1)=−1x。 \begin{aligned} \frac{x^{-1}-1}{x-1} &=\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\ &=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}\\ &=-\frac1x \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Where the quotient is defined, x−1−1x−1=1−xxx−1=−(x−1)x(x−1)=−1x. \begin{aligned} \frac{x^{-1}-1}{x-1} &=\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\ &=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}\\ &=-\frac1x. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

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