Question

在正四面体 $ABCD$ 中，设 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点。求 $\cos(\angle CMD)$ ？

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD.$ What is $\cos(\angle CMD)?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

答案：B

知识点：立体几何中线（几何）余弦定理

难度评级：1630

小提示：

设棱长为 $1$ ，则 $CM$ 和 $DM$ 是两个等边面的中线

$CM$ and $DM$ are medians of equilateral faces with edge length $1$

大提示：

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 且 $CD=1$ ；在 $\triangle CMD$ 中使用余弦定理

$CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ and $CD=1;$ apply the Law of Cosines in $\triangle CMD$

解答：

取棱长为 $1$ 。因为 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，线段 $CM$ 和 $DM$ 是等边三角形面的高，长度都为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 。另外 $CD=1$ 。

在 $\triangle CMD$ 中由余弦定理， $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Take edge length $1.$ Since $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ segments $CM$ and $DM$ are altitudes of the equilateral faces, each of length $\dfrac{\sqrt3}{2}.$ Also $CD=1.$

By the Law of Cosines in $\triangle CMD,$ $\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题