Question

求下式的值： $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3 \end{gathered}\text{？}$

What is the value of $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}$

$2023$

$2679$

$2941$

$3159$

$3235$

答案：D

知识点：立方和与立方差前n项平方和

难度评级：1630

小提示：

把项配成 $(2k)^3-(2k-1)^3$ ，其中 $k=1$ 到 $9$ 。

Group the terms into pairs $(2k)^3-(2k-1)^3$ for $k=1$ to $9$

大提示：

每一对等于 $12k^2-6k+1$ ；用 $\sum k^2$ 和 $\sum k$ 求和

Each pair equals $12k^2-6k+1;$ sum using $\sum k^2$ and $\sum k$

解答：

配成 $(2k)^3-(2k-1)^3$ ，其中 $k=1,\ldots,9$ 。展开得 $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1 \end{gathered}\text{。}$

对 $k=1$ 到 $9$ ，求和，并用 $\sum k^2=285$ 、 $\sum k=45$ 得到 $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Group into pairs $(2k)^3-(2k-1)^3$ for $k=1,\ldots,9.$ Expanding, $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}$

Summing for $k=1$ to $9,$ with $\sum k^2=285$ and $\sum k=45,$ gives $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A 第 12 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题