Question

假设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果将 $S$ 中的最大整数从 $S$ 中移除，则剩余整数的平均值（算术平均数）为 $32$ 。如果再移除 $S$ 中的最小整数，则剩余整数的平均值为 $35$ 。如果随后把最大整数放回集合，整数的平均值升至 $40$ 。原集合 $S$ 中最大整数比 $S$ 中最小整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers. If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$ What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

答案：D

知识点：平均数方程组

难度评级：1630

小提示：

令 $n=|S|$ ，总和为 $T$ ，最大数为 $M$ ，最小数为 $L$ ；把每个平均值条件写成方程

Let $n=|S|,$ total $T,$ greatest $M,$ least $L;$ write each average as an equation

大提示：

用 $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ 减去 $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ 得到 $M-L=8(n-1)$

Subtracting $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ from $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ gives $M-L=8(n-1)$

解答：

令 $n=|S|$ ， $T$ 为总和， $M$ 为最大数， $L$ 为最小数。则 $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ ， $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35$ ，且 $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ 。

用第三个方程减第一个方程： $\dfrac{M-L}{n-1}=8$ 。因为 $M-L=72$ ，得 $n-1=9$ ，所以 $n=10$ 。

于是 $T-M=288$ ，且 $T-L=360$ 。中间的方程给出 $T-M-L=35\cdot 8=280$ ，所以 $L=288-280=8$ ， $M=80$ 。

因此 $T=288+80=368$ ，平均值为 $\dfrac{368}{10}=36.8$ 。

所以正确答案是 D。

Let $n=|S|,$ let $T$ be the total, $M$ the greatest, and $L$ the least. Then $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ and $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Subtracting the first from the third: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Since $M-L=72,$ we get $n-1=9,$ so $n=10.$

Then $T-M=288$ and $T-L=360.$ The middle equation gives $T-M-L=35\cdot 8=280,$ so $L=288-280=8$ and $M=80.$

Thus $T=288+80=368,$ and the average is $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 12 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题