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2021 AMC 12B Spring 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

三角形 ABCABC 中，AB=13AB=13，BC=14BC=14，且 AC=15AC=15。点 PP 在 AC‾\overline{AC} 上，并且 PC=10PC=10。直线 BPBP 上恰好有两个点 DD 和 EE，使四边形 ABCDABCD 和 ABCEABCE 是梯形。距离 DEDE 是多少？

Triangle ABCABC has AB=13,AB=13, BC=14,BC=14, and AC=15.AC=15. Let PP be the point on AC‾\overline{AC} such that PC=10.PC=10. There are exactly two points DD and EE on line BPBP such that quadrilaterals ABCDABCD and ABCEABCE are trapezoids. What is the distance DE?DE?

425\dfrac{42}{5}

626\sqrt2

845\dfrac{84}{5}

12212\sqrt2

1818

答案：D
知识点：坐标几何平行线梯形
难度评级：1690
小提示：

令 A=(0,0)A=(0,0)，C=(15,0)C=(15,0)；则 B=(335,565)B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)，且 P=(5,0)P=(5,0)

Place A=(0,0),A=(0,0), C=(15,0);C=(15,0); then B=(335,565)B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right) and P=(5,0)P=(5,0)

大提示：

一个梯形需要 CD∥ABCD\parallel AB，另一个需要 AE∥BCAE\parallel BC；找出每条平行线与直线 BPBP 的交点

One trapezoid needs CD∥AB,CD\parallel AB, the other needs AE∥BC;AE\parallel BC; find where each parallel line meets line BPBP

解答：

令 A=(0,0)A=(0,0)，C=(15,0)C=(15,0)。则 B=(335,565)B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)，且因为 PC=10PC=10，P=(5,0)P=(5,0)。直线 BPBP 的斜率为 77，所以其方程为 y=7(x−5)y=7(x-5)。

要使 ABCDABCD 成为梯形且 DD 在直线 BPBP 上，取 CD∥ABCD\parallel AB。过 CC 作平行于 ABAB 的直线，与 BPBP 相交于 (95,−1125)(\tfrac95,-\tfrac{112}{5})。

对 ABCEABCE，其中 EE 在直线 BPBP 上，取 AE∥BCAE\parallel BC。过 AA 作平行于 BCBC 的直线，与 BPBP 相交于 (215,−285)(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5})。

两点横坐标之差为 125\tfrac{12}{5}，纵坐标之差为 845\tfrac{84}{5}，所以 DE=15122+842=122DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2。

所以正确答案是 D。

Place A=(0,0)A=(0,0) and C=(15,0).C=(15,0). Then B=(335,565),B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right), and since PC=10,PC=10, P=(5,0).P=(5,0). Line BPBP has slope 7,7, so it is y=7(x−5).y=7(x-5).

For ABCDABCD to be a trapezoid with DD on line BP,BP, take CD∥AB.CD\parallel AB. The line through CC parallel to ABAB meets line BPBP at (95,−1125).(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).

For ABCEABCE with EE on line BP,BP, take AE∥BC.AE\parallel BC. The line through AA parallel to BCBC meets line BPBP at (215,−285).(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).

Their coordinate differences are 125\tfrac{12}{5} and 845,\tfrac{84}{5}, so DE=15122+842=122.DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.

Thus, the correct answer is D.

第 10 题#10
完整试卷
第 12 题#12

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