Question

三个体积分别为 $1$ 、 $8$ 和 $27$ 的立方体沿着面粘在一起。所得组合体可能达到的最小表面积是

Three cubes of volume $1,$ $8$ and $27$ are glued together at their faces. The smallest possible surface area of the resulting configuration is

$36$

$56$

$70$

$72$

$74$

答案：D

知识点：表面积 cubes maximizing contact area

难度评级：1900

小提示：

三个立方体的边长分别为 $1,2$ 和 $3$

The cube side lengths are $1,2,$ and $3$

大提示：

要使外露面积最小，就要使粘合面的总面积最大

Minimize exposed area by maximizing the total areas of glued face portions

解答：

粘合前的总表面积为 $6(1^2+2^2+3^2)=84\text{。}$ 边长为 $2$ 的立方体可以共用面积为 $4$ 的面与边长为 $3$ 的立方体粘合；把边长为 $1$ 的立方体放在它们的公共棱处，它就能与两个较大的立方体各共用面积为 $1$ 的面。因此总接触面积为 $6$ 。每块粘合面积会去掉两份外露面，得到 $84-2(6)=72$ 。任意两个立方体共用的面积都不可能超过较小立方体的一个面，所以这里的接触面积已达到最大，表面积也达到最小。因此正确答案是 D。

Before gluing, the total surface area is $6(1^2+2^2+3^2)=84.$ The side- $2$ cube can share area $4$ with the side- $3$ cube, while the side- $1$ cube is placed at their common edge so that it shares area $1$ with each larger cube. Thus the total contact area is $6.$ Each glued area removes two exposed copies, giving $84-2(6)=72.$ No pair can share more than the smaller face, so this is maximal contact and minimal surface area. Thus the correct answer is D.

1994 AMC 12 第 11 题

答案：D

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题