Question

在下面的等式中， $A$ 和 $B$ 是连续正整数，并且 $A$ 、 $B$ 和 $A + B$ 都表示数的进制： $132_A + 43_B = 69_{A+B}\text{。}$ $A + B$ 等于多少？

In the equation below, $A$ and $B$ are consecutive positive integers, and $A,$ $B,$ and $A + B$ represent number bases: $132_A + 43_B = 69_{A+B}.$ What is $A + B?$

$9$

$11$

$13$

$15$

$17$

答案：C

知识点：进制二次方程

难度评级：1560

小提示：

把每个数按它的进制展开，例如 $132_A = A^2+3A+2$

Rewrite each numeral in terms of its base, e.g. $132_A = A^2+3A+2$

大提示：

分别尝试 $B=A-1$ 和 $B=A+1$ ，并解所得的关于 $A$ 的二次方程

Try both $B=A-1$ and $B=A+1$ and solve the resulting quadratic in $A$

解答：

展开各个数， $132_A=A^2+3A+2$ ， $43_B=4B+3$ ，且 $69_{A+B}=6(A+B)+9$ 。

当 $B=A+1$ 时，方程变为 $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9$ ，化简得 $(A-6)(A+1)=0$ 。正整数解为 $A=6$ ，所以 $B=7$ 。

（当 $B=A-1$ 时得到 $A^2-5A-2=0$ ，没有整数解。）

因此 $A+B=13$ 。

因此正确答案是 C。

Writing the numerals out, $132_A=A^2+3A+2,$ $43_B=4B+3,$ and $69_{A+B}=6(A+B)+9.$

With $B=A+1,$ the equation becomes $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9,$ which simplifies to $(A-6)(A+1)=0.$ The positive solution is $A=6,$ so $B=7.$

(The case $B=A-1$ gives $A^2-5A-2=0,$ which has no integer solution.)

Therefore $A+B=13.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B 第 11 题

答案：C

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题