Question

令 $x_n = \sin^2(n^\circ)$ 。求 $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ ， $\ldots$ ， $x_{90}$ 的平均数。

Let $x_n = \sin^2(n^\circ).$ What is the mean of $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ $x_{90}?$

$\dfrac{11}{45}$

$\dfrac{22}{45}$

$\dfrac{89}{180}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{91}{180}$

答案：E

知识点：三角恒等式平均数对称性

难度评级：1610

小提示：

使用 $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ 改写这个和。

Use $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ to rewrite the sum

大提示：

余弦项 $\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ$ 由 $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ 成对抵消，只剩 $\cos 180^\circ = -1$ 。

The cosine terms $\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ$ cancel in pairs via $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta,$ leaving only $\cos 180^\circ = -1$

解答：

由 $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ ，可得 $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ)\text{。} \end{aligned}$ 在余弦和中， $n$ 与 $90 - n$ 的项满足 $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0$ ，且 $\cos 90^\circ = 0$ ，最后只剩 $\cos 180^\circ = -1$ 。

所以总和为 $45 - \tfrac12(-1) = 45.5$ ，平均数为 $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}$ 。

所以正确答案是 E。

Using $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},$ $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}$ In the cosine sum, the terms for $n$ and $90 - n$ satisfy $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,$ and $\cos 90^\circ = 0,$ so everything cancels except $\cos 180^\circ = -1.$

Hence the sum is $45 - \tfrac12(-1) = 45.5,$ and the mean is $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.$

Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12B 第 11 题

答案：E

难度评级：1610

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解答：

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