Question

恰有 $K$ 个满足 $5\le b\le2024$ 的正整数 $b$ ，使得以 $b$ 为底的整数 $2024_b$ 能被 $16$ 整除（其中 $16$ 用十进制表示）。 $K$ 的各位数字之和是多少？

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5\le b\le2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

答案：D

知识点：进制模运算区间内整数计数

难度评级：1630

小提示：

$2024_b=2b^3+2b+4$ ，所以需要 $2(b^3+b+2)$ 是 $16$ 的倍数

$2024_b=2b^3+2b+4,$ so you need $2(b^3+b+2)$ to be divisible by $16$

大提示：

计算 $b^3+b+2\pmod 8$ ，并统计 $[5,2024]$ 中每个有效剩余类的 $b$ 。

Reduce $b^3+b+2\pmod 8$ and count $b$ in each valid residue class of $[5,2024]$

解答：

这里 $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2)$ ，所以 $2024_b$ 是 $16$ 的倍数当且仅当 $b^3+b+2$ 是 $8$ 的倍数。检查 $\bmod 8$ 的剩余类可知， $b^3+b+2\equiv0$ 恰好在 $b\equiv3,6,7\pmod8$ 时成立。

统计 $b$ 在 $[5,2024]$ ：剩余 $3$ 给出 $11,\ldots,2019$ ，共有 $252$ 个；剩余 $6$ 给出 $6,\ldots,2022$ ，共有 $253$ 个；剩余 $7$ 给出 $7,\ldots,2023$ ，共有 $253$ 个。所以 $K=252+253+253=758$ ，各位数字之和为 $7+5+8=20$ 。

因此正确答案是 D。

Here $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2),$ so $2024_b$ is divisible by $16$ exactly when $b^3+b+2$ is divisible by $8.$ Checking residues $\bmod 8,$ $b^3+b+2\equiv0$ precisely for $b\equiv3,6,7\pmod8.$

Counting $b$ in $[5,2024]:$ residue $3$ gives $11,\ldots,2019$ ( $252$ values), residue $6$ gives $6,\ldots,2022$ ( $253$ values), and residue $7$ gives $7,\ldots,2023$ ( $253$ values). So $K=252+253+253=758,$ and its digit sum is $7+5+8=20.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 11 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题